已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermatpoint）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的

Question

已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat point）．已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为 √(2)的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=___．

Answer 1

如图：等腰Rt△DEF中，DE=DF=√(2)，
过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°，
则EM=DM=1，
故cos30°=(EM)/(EP)，
解得：PE=PF=(2)/(√(3))=(2√(3))/(3)，则PM=(√(3))/(3)，
故DP=1-(√(3))/(3)，
则PD+PE+PF=2×(2√(3))/(3)+1-(√(3))/(3)=√(3)+1．
故答案为：√(3)+1．