已知点A（0,1）,B、C是x轴上两点,且｜BC｜=6,（B在C的左侧）,设三角形ABC的外接圆的圆心为M.（1）已知点A（0,1）,B、C是x轴上两点,且｜BC｜=6,（B在C的左侧）,设三角形ABC的外接圆的圆心为M.

Question

 已知点A（0,1）,B、C是x轴上两点,且｜BC｜=6,（B在C的左侧）,设三角形ABC的外接圆的圆心为M.（1）已知点A（0,1）,B、C是x轴上两点,且｜BC｜=6,（B在C的左侧）,设三角形ABC的外接圆的圆心为M.（1）已知向量AB•向量AC=-4,试求直线AB的方程;(2)当圆M与直线y=9相切时,求圆M的方程；(3)设｜AB｜=l1,｜AC｜=l2,s=l1/l2+l2/l1,试求s的最大值.

Answer 1

设B(x1,0)、C(x2,0) ,且x2>x1.M为△ABC的外心,即三条边的中垂线的交点.
向量AB=(x1-0,0-1)=(x1,-1),向量AC=(x2-0,0-1)=(X2,-1).
向量AB.向量AC=x1*x2+(-1)(-1)=-4.
x1*x2=-6 (1)
|BC|=|x2-x1|=6,∵x2＞x1,∴ x2-x1=6 (2).
联解(1),(2)得：x1=-3±√3,x2=3±√3.
∴B1(-3+√3,0),B2(-3-√3)；C1(3+√3,0),C2(3-√3,0) .
直线AB1过A、B两点,其方程为：
(y-1)/(0-1)=[(x-0)/[(-3+√3)-0].
( y-1)(-3+√3)=-x
化简得：x-(3-√3)y+3-√3=0 ----所求直线AB1的方程；
同理得：AB2的方程为：x-(3+√3)y+3+√3=0.----所求直线AB2的方程.
(2) 设圆M的圆心为M(a,b),由题设知,|MC|=|MA|.
由 |MC1|=|MA| 得：[a-(3+√3)]^2+(b-0)^2=(a-0)^2+(b-1)^2.
a^2-2(3+√3)a+(3+√3)^2+b^2=a^2+b^2-2b+1.
化简得：-6a-2√3a+2b+11+6√3=0 (1)
由 |MA|=|MB1| 得：（a-0)^2+(b-1)=[a-(-3+√3)]^2+(b-0)^2.
化简得：6a-2√3a+2b+11-6√3=0 (2)
(2)-(1):12a-12√3=0
∴a=√3.以a=√3代入（1）解得：b=-5/2..
∴圆心M(√3,-5/2).
圆M1 的半径R=9-(-5/2)=23/2
∴所求圆的标准方程为：（x-√3)^2+(y+5/2)^2=(23/2)^2.
过A、B2、C2三点的圆M2(a2,b2)还有一个方程：
仿照上述方法,可求得M2(-√3,-5/2),
圆M2的标准方程为：（x+√3)^2+(y+5/2)=(23/2)^2.