已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2=81相切，且与圆F2：（x-3）2+y2=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的

Question

已知动圆P与圆F₁：（x+3）²+y²=81相切，且与圆F₂：（x-3）²+y²=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F₂作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|²的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；
（Ⅲ）记△QF₂M的面积为S₁，△OF₂N的面积为S₂，令S=S₁+S₂，求S的最大值．

Answer 1

（本小题满分13分）
（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R
由于动圆P与圆F1：(x+3)2+y2＝81相切，
且与圆F2：(x−3)2+y2＝1相内切，所以动
圆P与圆F1：(x+3)2+y2＝81只能内切
∴

|PF1|＝9−R

|PF2|＝R−1

，∴|PF₁|+|PF₂|=8＞|F₁F₂|=6…（2分）
∴圆心P的轨迹为以F₁，F₂为焦点的椭圆，其中2a=8，2c=6，
∴a=4，c=3，b²=a²-c²=7
故圆心P的轨迹C：(x2)/(16)+(y2)/(7)＝1．…（4分）
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），
直线OQ：x=my，则直线MN：x=my+3
由

x＝my

(x2)/(16)+(y2)/(7)＝1

，得：

x2＝(112m2)/(7m2+16)

y2＝(112)/(7m2+16)

，∴

x32＝(112m2)/(7m2+16)

y32＝(112)/(7m2+16)

，
∴|OQ|2＝x32+y32＝(112m2)/(7m2+16)+(112)/(7m2+16)＝(112(m2+1))/(7m2+16)…（6分）
由

x＝my+3

(x2)/(16)+(y2)/(7)＝1

，得：（7m²+16）y²+42my-49=0，
∴y1+y2＝−(42m)/(7m2+16)，y1y2＝−(49)/(7m2+16)，
∴|MN|＝√((x2−x1)2+(y2−y1)2)＝√([(my2+3)−(my1+3)]2+(y2−y1)2)
=√(m2+1)|y2−y1|=√(m2+1)√((y1+y2)2−4y1y2)
=√(m2+1)√((−(42m)/(7m2+16))2−4(−(49)/(7m2+16)))＝(56(m2+1))/(7m2+16)…（8分）
∴(|MN|)/(|OQ|2)＝((56(m2+1))/(7m2+16))/((112(m2+1))/(7m2+16))＝(1)/(2)，
∴|MN|和|OQ|²的比值为一个常数，这个常数为(1)/(2)…（9分）
（III）∵MN∥OQ，∴△QF₂M的面积=△OF₂M的面积，
∴S=S₁+S₂=S_△OMN
∵O到直线MN：x=my+3的距离d＝(3)/(√(m2+1))，
∴S＝(1)/(2)|MN|•d＝(1)/(2)×(56(m2+1))/(7m2+16)×(3)/(√(m2+1))＝(84√(m2+1))/(7m2+16)…（11分）
令√(m2+1)＝t，则m²=t²-1（t≥1）S＝(84t)/(7(t2−1)+16)＝(84t)/(7t2+9)＝(84)/(7t+(9)/(t))，
∵7t+(9)/(t)≥2√(7t•(9)/(t))＝6√(7)（当且仅当7t＝(9)/(t)，即t＝(3)/(√(7))，亦即m＝±(√(14))/(7)时取等号）
∴当m＝±(√(14))/(7)时，S取最大值2√(7)…（13分）