已知函数f（x）=3-2log2x，g（x）=log2x．（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）=[f（x）+1]•g（x）的值域；（2）如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)•f(x)＞k•g(x)恒成立，求实数k的取值范围．

Question

已知函数f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x．
（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）=[f（x）+1]•g（x）的值域；
（2）如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)•f(√(x))＞k•g(x)恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）h(x)＝(4−2log2x)•log2x＝−2(log2x−1)2+2…（2分）
因为x∈[1，4]，所以log₂x∈[0，2]，…（4分）
故函数h（x）的值域为[0，2]…（6分）
（2）由f(x2)•f(√(x))＞k•g(x)得（3-4log₂x）（3-log₂x）＞k•log₂x
令t=log₂x，因为x∈[1，4]，所以t=log₂x∈[0，2]
所以（3-4t）（3-t）＞k•t对一切的t∈[0，2]恒成立…（8分）
1°当t=0时，k∈R；…（9分）
2°当t∈（0，2]时，k＜((3−4t)(3−t))/(t)恒成立，即k＜4t+(9)/(t)−15…（11分）
因为4t+(9)/(t)≥12，当且仅当4t＝(9)/(t)，即t＝(3)/(2)时取等号…（12分）
所以4t+(9)/(t)−15的最小值为-3…（13分）
综上，k∈（-∞，-3）…（14分）