如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着再把面积为12的一个长方形分成两个面积为14的长方形，再把面积为14的一个长方形分成两个面积为18的长方形，如此进行下

Question

如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为(1)/(2)的长方形，接着再把面积为(1)/(2)的一个长方形分成两个面积为(1)/(4)的长方形，再把面积为(1)/(4)的一个长方形分成两个面积为(1)/(8)的长方形，如此进行下去．

（1）第8次等分所得的一个小长方形面积为多少？
（2）试利用图形揭示的规律计算：(1)/(2)+(1)/(4)+(1)/(8)+(1)/(16)+(1)/(32)+(1)/(64)+(1)/(128)+(1)/(256)．

Answer 1

（1）设第n次等分所得的一个小长方形面积为a_n（n为正整数），
观察，发现规律：a₁=(1)/(2)，a₂=(1)/(4)，a₃=(1)/(8)，a₄=(1)/(16)，…，
∴a_n=((1)/(2))n，
当n=8时，a₈=(1)/(256)，
∴第8次等分所得的一个小长方形面积为(1)/(256)．
（2）根据图形可知：(1)/(2)+(1)/(4)+(1)/(8)+(1)/(16)+(1)/(32)+(1)/(64)+(1)/(128)+(1)/(256)=1-(1)/(256)=(255)/(256)．