设椭圆方程为x2+=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B两点,O是坐标原点,点P满足=(+),当l绕点M旋转时,动点P的轨迹方程为.

Question

设椭圆方程为x ² + =1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B两点,O是坐标原点,点P满足 = ( + ),当l绕点M旋转时,动点P的轨迹方程为 　　　　　 .

Answer 1

4x ² +y ² -y=0

【思路点拨】设直线l的斜率为k,用参数法求解,但需验证斜率不存在时是否符合要求.
直线l过点M(0,1),当斜率存在时,设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1.
设A(x ₁ ,y ₁ ),B(x ₂ ,y ₂ ),
由题设可得点A,B的坐标(x ₁ ,y ₁ ),(x ₂ ,y ₂ )是方程组 的解,
将①代入②并化简得(4+k ² )x ² +2kx-3=0,
所以
于是 = ( + )=( , )
=( , ).
设点P的坐标为(x,y),则 消去参数k得4x ² +y ² -y=0,　③
当斜率不存在时,A,B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P的轨迹方程为4x ² +y ² -y=0.
【方法技巧】利用参数法求轨迹方程的技巧
参数法是求轨迹方程的一种重要方法,其关键在于选择恰当的参数.一般来说,选参数时要注意:
①动点的变化是随着参数的变化而变化的,即参数要能真正反映动点的变化特征;②参数要与题设的已知量有着密切的联系;③参数要便于轨迹条件中的各种相关量的计算,也要便于消去.常见的参数有角度、斜率、点的横坐标、纵坐标等.