已知等比数列{an}，Sn是其前n项的和，且a1+a3=5，S4=15．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设bn＝52+log2an，求数列{bn}的前n项和Tn（III）比较（II）中Tn与12n3+2（n=1，2，3…）的大小，并说明理由

Question

已知等比数列{a_n}，S_n是其前n项的和，且a₁+a₃=5，S₄=15．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn＝(5)/(2)+log2an，求数列{b_n}的前n项和T_n
（III）比较（II）中T_n与(1)/(2)n3+2（n=1，2，3…）的大小，并说明理由．

Answer 1

（I）设数列{a_n}的公比为q，则
方法一：a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5，S₄-（a₁+a₃）=a₂+a₄=a₁q（1+q²）=10（2分）
∴q=2，a₁=1，则a_n=2^n-1（4分）
方法二：易知q≠1，则a₁+a₃=a₁+a₁q²=a₁（1+q²）=5S4＝(a1(1−q4))/(1−q)＝(a1(1−q)(1+q)(1+q2))/(1−q)＝a1(1+q)(1+q2)＝15，
则1+q=3（2分）
（以下同方法一）（4分）
（II）由（I）可得，bn＝(5)/(2)+log22n−1＝(5)/(2)+(n−1)＝n+(3)/(2)，
所以数列{b_n}是一个以(5)/(2)为首项，1为公差的等差数列（5分）
∴Tn＝(n(b1+bn))/(2)(6分)
=(n((5)/(2)+n+(3)/(2)))/(2)＝(n(n+4))/(2)(9分)
（III）∵((1)/(2)n3+2)−Tn＝(1)/(2)(n3−n2−4n+4)＝(1)/(2)(n−1)(n−2)(n+2)（11分）
∴当n=1、2时，(1)/(2)(n−1)(n−2)(n+2)＝0，即T_n=(1)/(2)n3+2（12分）
当n≥3时，(1)/(2)(n−1)(n−2)(n+2)＞0，即T_n＜(1)/(2)n3+2（14分）