如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（1）求实数b的值；（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

Question

如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x²=4y相切于点A．

（1）求实数b的值；
（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

Answer 1

（I）由

y＝x+b

x2＝4y

，得x²-4x-4b=0，（*）
因为直线l与抛物线C相切，
所以△=（-4）²-4×（-4b）=0，
解得b=-1．…（4分）
（II）由（I）知b=-1，
故方程（*）即为x²-4x+4=0，
解得x=2，将其代入x²=4y，
得y=1，故点A（2，1）．
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r，
即r=|1-（-1）|=2，
所以圆A的方程为（x-2）²+（y-1）²=4．…..（12分）