设常数a>1，实数x，y满足logax+2logxa+logxy=-3，若y的最大值为2，则x的值为．

Question

设常数a>1，实数x，y满足log_ax+2log_xa+log_xy=-3，若y的最大值为√(2)，则x的值为 ___．

Answer 1

实数x，y满足log_ax+2log_xa+log_xy=-3，
化为log_ax+(2)/(logax)+(logay)/(logax)=-3，
令log_ax=t，
化为：log_ay=-(t+(3)/(2))2+(1)/(4)，
∵a>1，∴当t=-(3)/(2)时，y取得最大值√(2)，
∴loga√(2)=(1)/(4)，
解得a=4．
∴log₄x=-(3)/(2)，
∴x=4-(3)/(2)=(1)/(8)．
故答案为：(1)/(8)．