关于x的方程4^x-k*2^x+k+3=0只有一个实数解,则实数k的取值范围是

Question

关于x的方程4^x-k*2^x+k+3=0只有一个实数解,则实数k的取值范围是

Answer 1

4^x-k*2^x+k+3=0
令2^x＝n,n＞0则：
n²－kn＋k＋3＝0（n＞0）
4^x-k*2^x+k+3=0只有一个解,说明n²－kn＋k＋3＝0只有一个大于0的解
①当Δ＝k²－4（k＋3）＝0时,（k－6）（k＋2）＝0,k1＝6,k2＝-2
若k＝6,则原方程为n²－6n＋9＝0,（n－3）²＝0,n＝3符合题意
若k＝-2,则原方程为n²＋2n＋＋1＝0,（n＋1）²＝0,n＝-1不符合题意,舍弃.
②当Δ＝k²－4（k＋3）＞0时,k∈（-∞,-2）∪（6,+∞）
∵只有一个正数解
∴根据伟达定理：n1×n2＝k＋3＜0,即k＜-3
∴k∈（-∞,-3）
综上,k∈（-∞,-2）∪{6}