在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosA=bcosC+ccosB（1）求cosA（2）若a=3，求△ABC的面积的最大值．

Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosA=bcosC+ccosB
（1）求cosA
（2）若a=3，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

（1）在△ABC中，∵3acosA=bcosC+ccosB，
∴3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，即3sinAcosA=sinA，
又A∈（0，π），∴sinA≠0，
∴cosA=(1)/(3)．
（2）∵a²=b²+c²-2bccosA，即b2+c2-(2)/(3)bc=9，∴b²+c²=9+(2)/(3)bc≥2bc，∴bc≤(27)/(4)．
∵sinA=√(1-cos2A)=(2√(2))/(3)，
∴△ABC的面积S=(1)/(2)bcsinA≤(1)/(2)•(27)/(4)•(2√(2))/(3)=(9√(2))/(4)，（b=c=(3√(3))/(2)时取等号）
∴Smax=(9√(2))/(4)．