已知a>b>c,求证1/a-c+1/b-c=4/a-c有没有更直接的证明方式

Question

已知a>b>c,求证1/a-c+1/b-c=4/a-c
有没有更直接的证明方式

Answer 1

令m=a-b,n=b-c
则a-c=m+n
要证明1/a-b+1/b-c>=4/a-c
即证明1/m+1/n>=4/m+n
(m+n)/(mn)>=4/(m+n)
因为a>b>c,所以m=a-c>0,n=b-c>0
上面的不等式两边乘以mn(m+n)得
(m+n)²>=4mn
只需证：m²+2mn+n²>4mn
m²-2mn+n²>=0
(m-n)²>=0
该式显然成立
所以1/a-b+1/b-c>=4/a-c也成立
这个已经很直接了,如果你要更直接的,我告诉你一个重要的不等式
(m²/p)+(n²/q)>=(m+n)²/(p+q),其中字母均为正数
那么1/a-b+1/b-c
=(1²/(a-b))+(1²/(b-c))
>=(1+1)²/(a-c)
=4/(a-c)
搞定!