关于A=0的证明设A是n阶实对称矩阵,且A²=0证明A=0.其中一种证明方法是这样的：由A（T）A=A²=0,那么对任一个n维列向量α,有α（T）A（T）Aα=0,即（Aα）（T）（Aα）=0,亦即‖Aα‖=0.可见Aα是

Question

关于A=0的证明
设A是n阶实对称矩阵,且A²=0证明A=0.其中一种证明方法是这样的：由A（T）A=A²=0,那么对任一个n维列向量α,有α（T）A（T）Aα=0,即（Aα）（T）（Aα）=0,亦即‖Aα‖=0.可见Aα是零向量,即Aα=0.也就是任一个n维向量α都是齐次方程组Ax=0解,因而Ax=0解,因而Ax=0有n个线性无关的解,于是n小于等于n-r（A）,即r（A）小于等于0.又因r（A）大于等于0,所以r（A）=0,即A=0.……想不明白的是,他既然可以这样证明,那为什么不直接证‖A‖=0?绕这么一大圈干什么?（这是李永乐全书上的例题求高人解答,手机里输不出来转置符号用（T）代替了）

Answer 1

关键是Aα是一个向量,所以||Aα||是一个常数,而是A一个矩阵||A||并不是一个数