如何证明(a^x)'=a^xlna证明初等涵数求导公式:(a^x)'=a^xlna证明:不存在正十面体

Question

如何证明(a^x)'=a^xlna
证明初等涵数求导公式:
(a^x)'=a^xlna
证明:不存在正十面体

Answer 1

一般数学教材上都有
ln(a^x)=xlna
两边同时求导
1/(a^x)*(s^x)'=x
所以(a^x)'=(a^x)lna
顶点数V,面数F,棱数E
　　设正多面体的每个面是正n边形,每个顶点有m条棱.棱数E应是面数F与n的积的一半（每两面共用一条棱）,即
　　nF=2E -------------- ①
　　同时,E应是顶点数V与m的积的一半,即
　　mV=2E -------------- ②
　　由①、②,得
　　F=2E/n,V=2E/m,
　　代入欧拉公式V+F-E=2,
　　有
　　2E/m+2E/n-E=2
　　整理后,得1/m+1/n=1/2+1/E.
　　由于E是正整数,所以1/E>0
因此
　　1/m+1/n>1/2 -------------- ③
　　说明m,n不能同时大于3,否则③不成立.另一方面,由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知,m≥3且n≥3.因此m和n至少有一个等于3
　　当m=3时,因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数,所以n只能是3,4,5
　　同理n=3,m也只能是3,4,5
　　所以有以下几种情况：
　　n m 类型
　　3 3 正四面体
　　4 3 正六面体
　　3 4 正八面体
　　5 3 正十二面体
　　3 5 正二十面体
　　由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出,而不可能有其他种类的正多面体
　　所以正多面体只有5种