如图，一次函数y=-12x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线

Question

如图，一次函数y= -(1)/(2) x+2 分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x ² +bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

Answer 1

（1）∵一次函数y= -(1)/(2) x+2 分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴x=0时，y=2，y=0时，x=4，
∴A（0，2），B（4，0），
将x=0，y=2代入y=-x ² +bx+c得c=2，
将x=4，y=0，c=2代入y=-x ² +bx+c，
得到b= (7)/(2) ，
∴y=-x ² + (7)/(2) x+2；

（2）∵作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，
∴由题意，易得M（t，- (1)/(2) t+2），N（t，-t ² + (7)/(2) t+2），
从而得到MN=-t ² + (7)/(2) t+2-（- (1)/(2) t+2）=-t ² +4t（0＜t＜4），
当t=- (b)/(2a) =2时，MN有最大值为： (4ac- b2)/(4a) =4．