在三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,三角形BCD为等边三角形,CE为三角形BCD的中线,AD交CE于F点求证：EF=二分之一AC

Question

在三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,三角形BCD为等边三角形,CE为三角形BCD的中线,AD交CE于F点
求证：EF=二分之一AC

Answer 1

三角形BCD为等边三角形,故BC=CD;
而AC=BC,
∴∠CAD＝∠CDA;
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°+60°=150°,
∴在三角形ACD中,∠CAD＝∠CDA=(180°-∠ACD)=15°.
则∠EDF=∠BDC-∠CAD
=60°-15°=45°
而CE为等边三角形BCD的中线,三线合一,则CE⊥BD;
→即∠FED=90°.
故可知∠EFD=90°-∠EDF=45°;
则三角形DEF亦是等腰直角三角形;所以EF=DE;
故△DEF∽△ABC;
则有:
EF
=DE=(1/2)BD=(1/2)BC
=(1/2)AC