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（2012•广东）设数列{an}的前n项和为Sn，满足，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．
题目详情
| （2012•广东）设数列{a n }的前n项和为S n ，满足  ，且a 1 ，a 2 +5，a 3 成等差数列．（1）求a 1 的值； （2）求数列{a n }的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有  ． |
▼优质解答
答案和解析
| （1）1 （2）a n =3 n ﹣2 n （3）见解析 |
| （1）在2S n =a n+1 ﹣2 n+1 +1中， 令n=1得：2S 1 =a 2 ﹣2 2 +1， 令n=2得：2S 2 =a 3 ﹣2 3 +1， 解得：a 2 =2a 1 +3，a 3 =6a 1 +13 又2（a 2 +5）=a 1 +a 3 解得a 1 =1 （2）由2S n =a n+1 ﹣2 n+1 +1，  得a n+2 =3a n+1 +2 n+1 ，又a 1 =1，a 2 =5也满足a 2 =3a 1 +2 1 ， 所以a n+1 =3a n +2 n 对n∈N*成立 ∴a n+1 +2 n+1 =3（a n +2 n ），又a 1 =1，a 1 +2 1 =3， ∴a n +2 n =3 n ， ∴a n =3 n ﹣2 n ； （3）（法一） ∵a n =3 n ﹣2 n =（3﹣2）（3 n ﹣1 +3 n ﹣2 ×2+3 n ﹣3 ×2 2 +…+2 n ﹣1 ）≥3 n ﹣1 ∴  ≤ ，∴  + + +…+ ≤1+ + +…+ = ＜ ；（法二）∵a n+1 =3 n+1 ﹣2 n+1 ＞2×3 n ﹣2 n+1 =2a n ， ∴  ＜ • ，，当n≥2时，  ＜ • ， ＜ • ， ，…  ＜ • ，累乘得：  ＜ • ，∴  + + +…+ ≤1+ + × +…+ × ＜ ＜ ． |
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