（2012•广东）设数列{an}的前n项和为Sn，满足，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．

Question

（2012•广东）设数列{a _n }的前n项和为S _n ，满足 ，且a ₁ ，a ₂ +5，a ₃ 成等差数列．
（1）求a ₁ 的值；
（2）求数列{a _n }的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有 ．

Answer 1

（1）1    （2）a _n =3 ⁿ ﹣2 ⁿ    （3）见解析

（1）在2S _n =a _n+1 ﹣2 ⁿ⁺¹ +1中，
令n=1得：2S ₁ =a ₂ ﹣2 ² +1，
令n=2得：2S ₂ =a ₃ ﹣2 ³ +1，
解得：a ₂ =2a ₁ +3，a ₃ =6a ₁ +13
又2（a ₂ +5）=a ₁ +a ₃
解得a ₁ =1
（2）由2S _n =a _n+1 ﹣2 ⁿ⁺¹ +1，
得a _n+2 =3a _n+1 +2 ⁿ⁺¹ ，
又a ₁ =1，a ₂ =5也满足a ₂ =3a ₁ +2 ¹ ，
所以a _n+1 =3a _n +2 ⁿ 对n∈N*成立
∴a _n+1 +2 ⁿ⁺¹ =3（a _n +2 ⁿ ），又a ₁ =1，a ₁ +2 ¹ =3，
∴a _n +2 ⁿ =3 ⁿ ，
∴a _n =3 ⁿ ﹣2 ⁿ ；
（3）（法一）
∵a _n =3 ⁿ ﹣2 ⁿ =（3﹣2）（3 ^{n ﹣1} +3 ^{n ﹣2} ×2+3 ^{n ﹣3} ×2 ² +…+2 ^{n ﹣1} ）≥3 ^{n ﹣1}
∴ ≤ ，
∴ + + +…+ ≤1+ + +…+ = ＜ ；
（法二）∵a _n+1 =3 ⁿ⁺¹ ﹣2 ⁿ⁺¹ ＞2×3 ⁿ ﹣2 ⁿ⁺¹ =2a _n ，
∴ ＜ • ，，
当n≥2时， ＜ • ， ＜ • ， ，
… ＜ • ，
累乘得： ＜ • ，
∴ + + +…+ ≤1+ + × +…+ × ＜ ＜ ．