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求y=x^n/(1-x)的n阶导数
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求y=x^n/(1-x)的n阶导数
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改写
y = (x^n)/(1-x)
= {[(x^n)-1]+1}/(1-x)
= {[x^(n-1)] + [x^(n-2)] + … + x + 1} + 1/(1-x),
因此,
y' = {(n-1)[x^(n-2)] + (n-2)[x^(n-3)] + … + 1} + 1/(1-x)^2,
y" = {(n-1)(n-2)[x^(n-3)] + (n-2)(n-3)[x^(n-2)] + … + 1} + 2!/(1-x)^3,
……
y^(n) =n!/(1-x)^(n+1).
y = (x^n)/(1-x)
= {[(x^n)-1]+1}/(1-x)
= {[x^(n-1)] + [x^(n-2)] + … + x + 1} + 1/(1-x),
因此,
y' = {(n-1)[x^(n-2)] + (n-2)[x^(n-3)] + … + 1} + 1/(1-x)^2,
y" = {(n-1)(n-2)[x^(n-3)] + (n-2)(n-3)[x^(n-2)] + … + 1} + 2!/(1-x)^3,
……
y^(n) =n!/(1-x)^(n+1).
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