如图，在平面直角坐标系中，抛物线l1与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，l1的解析式为y=12x2-2，若将抛物线l1平移，使平移后的抛物线l2经过点A，对称轴为直线x=-6，抛物线l2与x轴的另一个交点

Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线l₁与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，l₁的解析式为y=(1)/(2)x²-2，若将抛物线l₁平移，使平移后的抛物线l₂经过点A，对称轴为直线x=-6，抛物线l₂与x轴的另一个交点是E，顶点是D，连结OD，AD，ED．

（1）求抛物线l₂的解析式；
（2）求证：△ADE∽△DOE；
（3）半径为1的 P的圆心P沿着直线x=-6从点D运动到F（-6，0），运动速度为1单位/秒，运动时间为t秒， P绕着点C顺时针旋转90°得 P₁，随着 P的运动，求P₁的运动路径长以及当 P₁与y轴相切的时候t的值．

Answer 1

（1）设抛物线l₂的解析式为y=(1)/(2)（x+a）²+c，
∵抛物线l₂的对称轴为x=-6，
∴a=6．
令l₁的解析式y=(1)/(2)x²-2=0，
解得：x=±2．
∴A点的坐标为（-2，0），B点的坐标为（2，0）．
将点A（-2，0）代入l₂的解析式中，得(1)/(2)×（-2+6）²+c=0，
解得：c=-8．
故抛物线l₂的解析式为y=(1)/(2)(x+6)2-8．
（2）证明：令l₂的解析式y=(1)/(2)(x+6)2-8=0，
解得x=-10，或x=-2，
故点E的坐标为（-10，0）．
由抛物线的对称性可知△ADE为等腰三角形．
∵点O（0，0），点E（-10，0），点D（-6，-8），
∴OE=0-（-10）=10，OD=√((-6)2+(-8)2)=10，
∴OE=OD，
即△OED为等腰三角形，
又∵∠DEA=∠OED，且两者均为底角，
∴△ADE∽△DOE．
（3）过点C作CN⊥DF于点N，根据题意画出图形如图所示．

点D旋转后到达D′处，点F旋转后到达F′处．
根据旋转的性质可知D′F′=DF，
∵点D（-6，-8），点F（-6，0），
∴P₁的运动路径长为DF=8．
∵DF∥y轴，
∴D′F′∥x轴，
∴四边形NCMD′为平行四边，
∴D′M=NC．
∵l₁的解析式为y=(1)/(2)x²-2，
∴点C的坐标为（0，-2），
∴点N的坐标为（-6，-2），
∴NC=0-（-6）=6．
∵ P₁的半径为1，
∴当D′P₁=D′M±1时， P₁与y轴相切，
此时D′P₁=5，或D′P₁=7．
∵ P的运动速度为1单位/秒，
∴ P₁的运动速度为1单位/秒，
∴运算时间为5秒或7秒．