如图，抛物线y=12x2+mx+n交x轴于A、B两点，直线y=kx+b经过点A，与这条抛物线的对称轴交于点M（1，2），且点M与抛物线的顶点N关于x轴对称．（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）设抛物线与

Question

如图，抛物线y=(1)/(2)x²+mx+n交x轴于A、B两点，直线y=kx+b经过点A，与这条抛物线的对称轴交于点M（1，2），且点M与抛物线的顶点N关于x轴对称．

（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）设抛物线与直线的另一交点为C，已知P为线段AC上一点（不含端点），过点P作PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，设点P的横坐标为x，用含x的代数式表示线段PQ的长，并求出PQ的最大值；
（3）若点D在抛物线的对称轴上，点E在抛物线上，是否存在以A、B、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵x=-(b)/(2a)=-(m)/((1)/(2)×2)=1，
∴m=-1．
∵点M与点N关于x轴对称，
∴点N的坐标为（1，-2）．
将m=-1，x=1，y=-2代入得：(1)/(2)-1+n=-2．
解得：n=-(3)/(2)．
∴抛物线的解析式为y=(1)/(2)x2-x-(3)/(2)．
（2）如图1所示：

令y=0得：(1)/(2)x2-x-(3)/(2)=0．
解得：x₁=-1，x₂=3．
则点A的坐标为（-1，0）．
设直线AM的解析式为y=kx+b，将点A（-1，0），M（1，2）代入得；

-k+b=0

k+b=2

，
解得：k=1，b=1．
∴直线AM的解析式为y=x+1．
∵点P的横坐标为x，PQ⊥x轴，
∴点Q的横坐标为x．
∴点P的纵坐标为x+1，点Q的纵坐标为(1)/(2)x2-x-(3)/(2)．
∴PQ=x+1-（(1)/(2)x2-x-(3)/(2)）=-(1)/(2)x2+2x+(5)/(2)．
∵PQ=-(1)/(2)x2+2x+(5)/(2)=-(1)/(2)（x-2）²+(9)/(2)，
∴当x=2时，PQ有最大值，最大值为(9)/(2)．
（3）如图2所示：

①当AC=BC，PC=CE时，四边形AEBP是平行四边形，此时点E的坐标为（1，-2）．
如图3所示：

②∵ABPE为平行四边形，
∴PE∥AB，且PE=AB=4．
∴点E的横坐标为5．
将x=5代入y=-(1)/(2)x2-x-(3)/(2)，得y=6．
∴点E的坐标为（5，6）．
③∵ABPE′为平行四边形，
∴PE′∥AB，且PE′=AB=4．
∴点E′的横坐标为-3．
将x=-3代入y=-

作业帮用户 2017-05-28