若函数f（x）=x2+2x-alnx（a>0）有唯一的零点x0，且m<x0<n（m，n为相邻整数），则m+n的值为．

Question

若函数f（x）=x²+ (2)/(x)-alnx（a>0）有唯一的零点x₀，且m<x₀<n（m，n为相邻整数），则m+n的值为___．

Answer 1

∵函数f（x）=x²+(2)/(x)-alnx（a>0）有唯一的零点x₀，
∴x²+(2)/(x)=alnx有一个根，即g（x）=x²+(2)/(x)与h（x）=alnx有一个公共点，
又g′（x）=2x-(2)/(x2)=(2(x3-1))/(x2)，
∴g（x）=x²+(2)/(x)在（0，1）减，在（1，+∞）上增，而由题意知，h（x）=alnx是一个增函数，
故两函数在（1，+∞）上有一个公共点，且过该点存在一条为两函数的公共切线，不妨令该点坐标（s，t），
则必有

2s-(2)/(s2)=(a)/(s)

s2+(2)/(s)=alns

，两式联立，消去a可得s2+(2)/(s)=(2s2-(2)/(s))lns，
令s=1可得等号左式的值为3，右侧为0；
令s=2可得等号左式的值为5，右侧为7ln2≈4.85<5；
令s=3可得等号左式的值为9+(2)/(3)，右侧为（18-(2)/(3)）ln3>10．
综上得s∈（2，3），即2<x₀<3，所以m=2，n=3．
∴m+n的值为5．
故答案为5．