如图，由半圆x2+y2=1（y≤0）和部分抛物线y=a（x2-1）（y≥0，a＞0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，且曲线C经过点（2，3）．（1）求a的值；（2）设A（1，0），B（-1，0），过A且斜率为k的直

Question

如图，由半圆x²+y²=1（y≤0）和部分抛物线y=a（x²-1）（y≥0，a＞0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，且曲线C经过点（2，3）．

（1）求a的值；
（2）设A（1，0），B（-1，0），过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形”相交于P，A，Q三点，问是否存在实数k使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）把点（2，3）代入y=a（x²-1），可得3=a（2²-1），∴a=1；
（2）由题意可知∠QBA=∠PBA，∠APB=90°
∴∠QBA+∠BAP=90°
∴k_QB•k_QA=1
设Q（x₀，x02-1），其中x₀＞0
∴kQB=(x02-1)/(x0+1)=x₀-1，kQA=(x02-1)/(x0-1)=x₀+1，
∴k_QB•k_QA=x02-1=1
∵x₀＞0，∴x0=√(2)
∴k=kQA=√(2)+1
∴存在实数k=1+√(2)，使得∠QBA=∠PBA．