求微分方程（3x2+2xy-y2）dx+（x2-2xy）dy=0的通解．

Question

求微分方程（3x²+2xy-y²）dx+（x²-2xy）dy=0的通解．

Answer 1

令 y=xu，则 u＝(y)/(x)，且 (dy)/(dx)＝u+x(du)/(dx)．
由 （3x²+2xy-y²）dx+（x²-2xy）dy=0 可得
(dy)/(dx)＝−(3x2+2xy−y2)/(x2−2xy)=−(u2−2u−3)/(2u−1)，
所以 x(du)/(dx)＝(dy)/(dx)−u=−(3(u2−u−1))/(2u−1)．
利用分离变量可得，
(2u−1)/(u2−u−1)du＝−(3)/(x)dx，
两边积分可得
ln|u²-u-1|=-3ln|x|+C，
故 u²-u-1=(C)/(x3)．
将 u＝(y)/(x) 代入，可得
y²-xy-x²=(C)/(x)．