设f（x，y）=xyln(x2+y2)，x2+y2≠00，x2+y2=0，讨论f（x，y）在原点（0，0）处的连续性，偏导的存在性以及可微性．

Question

设f（x，y）=

xyln(x2+y2)，x2+y2≠0

0，x2+y2=0

，讨论f（x，y）在原点（0，0）处的连续性，偏导的存在性以及可微性．

Answer 1

令

x=ρcosθ

y=ρsinθ

，则

lim

x，y→0

f（x，y）=

lim

ρ→0+

(1)/(2)ρ2sin2θlnρ2=sin2θ

lim

ρ→0+

(lnρ)/(ρ-2)=sin2θ

lim

ρ→0+

(1)/(-2ρ-4)=0=f（0，0）
∴f（x，y）在原点（0，0）处连续

lim

x→0

(f(x，0)-f(0，0))/(x)=

lim

x→0

(0)/(x)=0=f_x（0，0），同理f_y（0，0）=0
即f（x，y）在（0，0）点处的两个一阶偏导数都存在
且

lim

ρ→0

(△z-fx′(0，0)△x-fx′(0，0)△y)/(√((△x)2+(△y)2))=

lim

ρ→0

((1)/(2)ρ2sin2θlnρ2)/(ρ)=

lim

ρ→0

sin2θ•ρlnρ=0
∴f（x，y）在原点（0，0）处可微．