如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．

Question

如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作 O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．

（1）求证：DE是 O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接OD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B=60°．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°．
∴∠EDC=30°．
∴∠ODE=90°．
∴DE⊥OD于点D．
∵点D在 O上，
∴DE是 O的切线；
（2） 如图2，连接AD，BF，
∵AB为 O直径，
∴∠AFB=∠ADB=90°．
∴AF⊥BF，AD⊥BD．
∵△ABC是等边三角形，
∴DC=(1)/(2)BC=2，FC=(1)/(2)AC=2．
∵∠EDC=30°，
∴EC=(1)/(2)DC=1．
∴FE=FC-EC=1．