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已知函数f(x)=•(-),其中=(cosωx,0),=(sinωx,1),且ω为正实数.(1)求f(x)的最大值;(2)对任意m∈R,函数y=f(x),x∈[m,m+π]的图象与直线y=有且仅有一个交点,求ω的值
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已知函数f(x)=•(-),其中=(cosωx,0),=(sinωx,1),且ω为正实数.
(1)求f(x)的最大值;
(2)对任意m∈R,函数y=f(x),x∈[m,m+π]的图象与直线y=有且仅有一个交点,求ω的值,并求满足f(x)=,x∈[,]的x的值.
(1)求f(x)的最大值;
(2)对任意m∈R,函数y=f(x),x∈[m,m+π]的图象与直线y=有且仅有一个交点,求ω的值,并求满足f(x)=,x∈[,]的x的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)由函数f(x)=•(-),其中=(cosωx,0),=(sinωx,1),求出函数的解析式,进而根据正弦型函数的图象和性质,可得函数的最大值;
(2)根据函数y=f(x),x∈[m,m+π]的图象与直线y=有且仅有一个交点,可得函数的周期为π,进而构造三角方程,求出x的值.
【解析】
(1)∵=(cosωx,0),=(sinωx,1),
∴f(x)=•(-)=(cosωx,0)•(sinωx-cosωx,1)=sinωx•cosωx-cosωx•cosωx
=sin(2ωx)-cos(2ωx)-=sin(2ωx-)-
∵A=1,B=-
∴f(x)max=
(2)∵T=π,ω为正实数.
∴ω=1
∴f(x)=sin(2x-)-=
∴sin(2x-)=
∵x∈[,]
∴2x-∈[0,π]
∴2x-=,或2x-=
∴x=,或x=
(2)根据函数y=f(x),x∈[m,m+π]的图象与直线y=有且仅有一个交点,可得函数的周期为π,进而构造三角方程,求出x的值.
【解析】
(1)∵=(cosωx,0),=(sinωx,1),
∴f(x)=•(-)=(cosωx,0)•(sinωx-cosωx,1)=sinωx•cosωx-cosωx•cosωx
=sin(2ωx)-cos(2ωx)-=sin(2ωx-)-
∵A=1,B=-
∴f(x)max=
(2)∵T=π,ω为正实数.
∴ω=1
∴f(x)=sin(2x-)-=
∴sin(2x-)=
∵x∈[,]
∴2x-∈[0,π]
∴2x-=,或2x-=
∴x=,或x=
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