已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点O及点C．（1）求直线与抛物线相应的函数关系式；（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使得S△OCD=S△OCB？

Question

已知抛物线y=ax²+bx+c与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点O及点C．
（1）求直线与抛物线相应的函数关系式；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使得S_△OCD=S_△OCB？如果存在，请求出满足条件的点D；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）将B（4，8）代入y=kx+4中得k=1，
∴y=x+4，把A（1，m）代入y=x+4中的m=5，
将A（1，5），B（4，8），O（0，0）代入y=ax²+bx+c中

a+b+c=5

16a+4b+c=8

c=0

得

a=-1

b=6

c=0

∴y=-x²+6x；
（2）存在，由-x²+6x=0得C（6，0），即OC=6，
∴S_△OBC=(1)/(2)×6×8=24，
∴S_△OCD=24，
∵D点在x轴上方，由此可得D点纵坐标为8，代入抛物线解析式得：-x²+6x=8，
解得x=2或4；
∴D₁（4，8），D₂（2，8）．
∵B（4，8），
∴D（2，8）．