如图，已知抛物线y=16x2-16（b+1）x+b6（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．若在第一象限内存在点P，使得四边形PCOB的面积等于72b，且

Question

如图，已知抛物线y=(1)/(6)x²-(1)/(6)（b+1）x+(b)/(6)（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．若在第一象限内存在点P，使得四边形PCOB的面积等于7√(2)b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．求：
（1）点A的坐标为______．
（2）求符合要求的点P坐标为

P（12√(2)，12√(2)）

P（12√(2)，12√(2)）

．

Answer 1

（1）对于y=(1)/(6)x²-(1)/(6)（b+1）x+(b)/(6)，
令y=0，得到(1)/(6)x²-(1)/(6)（b+1）x+(b)/(6)=0，即x²-（b+1）x+b=0，
分解因式得：（x-1）（x-b）=0，
解得：x=1或x=b，
∵A在B的左边，
∴A（1，0），B（b，0）；
（2）过P作PE⊥x轴，过C作CD⊥PE，
对于y=(1)/(6)x²-(1)/(6)（b+1）x+(b)/(6)，
令x=0，得到y=(b)/(6)，即OC=(b)/(6)，
∵△BCP为等腰直角三角形，
∴PC=PB，∠CPB=90°，
∴∠CPD+∠BPE=90°，
∵∠CPD+∠PCD=90°，
∴∠BPE=∠PCD，
在△CDP和△PEB中，

∠PDC＝∠BEP＝90°

∠PCD＝∠BPE

PC＝PB

，
∴△CDP≌△PEB（AAS），
∴CD=PE，
设P（x，x），则有CD=PE=x，
∵S_{四边形OCPB}=S_梯形OCPE+S_△PEB=(1)/(2)x（(b)/(6)+x）+(1)/(2)x（b-x）=7√(2)b，
整理得：7x=84√(2)，
解得：x=12√(2)，
则P（12√(2)，12√(2)）．
故答案为：（1）A（1，0）；（2）P（12√(2)，12√(2)）