已知递增数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，4Sn-4n+1=an2．设bn=1anan+1，n∈N*，且数列{bn}的前n项和为Tn．（1）求证：数列{an}为等差数列；（2）试求所有的正整数m，使得am2+am+12−am+22amam+1为整数

Question

已知递增数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，4S_n-4n+1=a_n²．设b_n=(1)/(anan+1)，n∈N^*，且数列{b_n}的前n项和为T_n．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）试求所有的正整数m，使得(am2+am+12−am+22)/(amam+1)为整数；
（3）若对任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+18（-1）ⁿ⁺¹恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）证明：由4Sn−4n+1＝an2，
得4Sn−1−4(n−1)+1＝an−12(n≥2)，…（2分）
所以4an−4＝an2−an−12(n≥2)，
即an2−4an+4＝an−12，即(an−2)2＝an−12（n≥2），
所以a_n-2=a_n-1（n≥2）或a_n-2=-a_n-1（n≥2），
即a_n-a_n-1=2（n≥2）或a_n+a_n-1=2（n≥2），…（4分）
若a_n+a_n-1=2（n≥2），则有a₂+a₁=2，又a₁=1，
所以a₂=1，则a₁=a₂，这与数列{a_n}递增矛盾，
所以a_n-a_n-1=2（n≥2），故数列{a_n}为等差数列．…（6分）
（2）由（1）知a_n=2n-1，
所以(am2+am+12−am+22)/(amam+1)=((2m−1)2+(2m+1)2−(2m+3)2)/((2m−1)(2m+1))
=(4m2−12m−7)/(4m2−1)＝(4m2−1−12m−6)/(4m2−1)＝1−(6)/(2m−1)，…（8分）
因为1−(6)/(2m−1)∈Z，所以(6)/(2m−1)∈Z，
又2m-1≥1且2m-1为奇数，所以2m-1=1或2m-1=3，故m的值为1或2．…（10分）
（3）由（1）知a_n=2n-1，则bn＝(1)/((2n−1)(2n+1))＝(1)/(2)((1)/(2n−1)−(1)/(2n+1))，
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n
=(1)/(2)[(1−(1)/(3))+((1)/(3)−(1)/(5))+…+((1)/(2n−1)−(1)/(2n+1))]
=(1)/(2)(1−(1)/(2n+1))＝(n)/(2n+1)，…（12分）
从而λ•(n)/(2n+1)＜n+18(−1)n+1对任意n∈N^*恒成立等价于：
当n为奇数时，λ＜((2n+1)(n+18))/(n)恒成立，
记f(n)＝((2n+1)(n+18))/(n)，则f(n)＝2(n+(9)/(n))+37≥49，当n=3时取等号，所以λ＜49，
当n为偶数时，λ＜((2n+1)(n−18))/(n)恒成立．
记g(n)＝((2n+1)(n−18))/(n)，因为g(n)＝2(n−(9)/(n))−35递增，所以g（n）_min=g（2）=-40，
所以λ＜-40．综上，实数λ的取值范围为λ＜-40．…（16分）