已知数列{an}满足a1=1，a2=3，且an+2＝(1+2|cosnπ2|)an+|sinnπ2|，n∈N*，（1）求a2k-1（k∈N*）；（2）数列{yn}，{bn}满足yn=a2n-1，b1=y1，且当n≥2时bn＝y2n(1y21+1y22+…+1y2n−1)．证明当n≥2时，有bn+1(n+1)2−bn

Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，且an+2＝(1+2|cos(nπ)/(2)|)an+|sin(nπ)/(2)|，n∈N*，
（1）求a_2k-1（k∈N^*）；
（2）数列{y_n}，{b_n}满足y_n=a_2n-1，b₁=y₁，且当n≥2时bn

＝y

2 n

((1)/(y21)+(1)/(y22)+…+(1)/(y2n−1))．证明当n≥2时，有(bn+1)/((n+1)2)−(bn)/(n2)＝(1)/(n2)；
（3）在（2）的条件下，试比较(1+(1)/(b1))•(1+(1)/(b2))•(1+(1)/(b3))+…+(1+(1)/(bn))与4的大小关系．

Answer 1

（1）设n=2k-1
由a2k+1＝(1+2|cos((2k−1)π)/(2)|)a2k−1+|sin((2k−1)π)/(2)|＝a2k−1+1
∴a_2k+1-a_2k-1=1
∴数列（a_2k-1}为等差数列．
∴a_2k-1=k（k∈N^*）；        …（4分）
（2）证：y=a_2n-1=n．当n≥2时，(bn)/(n2)＝(1)/(12)+(1)/(22)+…+(1)/((n−1)2)…①
∴(bn+1)/((n+1)2)＝(1)/(12)+(1)/(22)+…+(1)/(n2)…②…（6分）
②式减①式，有(bn+1)/((n+1)2)−(bn)/(n2)＝(1)/(n2)，得证．                …（8分）
（3）当n=1时，1+(1)/(b1)＝2＜4；
当n=2时，(1+(1)/(b1))•(1+(1)/(b2))＝2×(5)/(4)＜4，
由（2）知，当n≥2时，(1+bn)/(bn+1)＝(n2)/((n+1)2)，
∴当n≥3时，(1+(1)/(b1))•(1+(1)/(b2))•(1+

作业帮用户 2017-11-14 举报

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问题解析

（1）设n=2k-1，利用条件可证数列（a_2k-1}为等差数列．从而可求其通项；
（2）先求得，

(bn)/(n2)＝(1)/(12)+(1)/(22)+…+(1)/((n−1)2)，然后再写一式，两式相减即可证得；
（3）先计算的当n=1时，1+(1)/(b1)＝2＜4；当n=2时，(1+(1)/(b1))•(1+(1)/(b2))＝2×(5)/(4)＜4，再证当n≥3时，利用放缩法结合裂项求和即可的结论．

名师点评

本题考点：

数列与不等式的综合；数列递推式；反证法与放缩法．

考点点评：

本题以数列为载体，考查等差数列的定义，考查数列与不等式的结合，有较强的技巧性．

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