设对任意x＞0，曲线y=f（x）上点（x，f（x））处的切线在y轴上的截距等于1x∫x0f(t)dt，求f（x）的一般表达式．

Question

设对任意x＞0，曲线y=f（x）上点（x，f（x））处的切线在y轴上的截距等于(1)/(x)

∫

x 0

f(t)dt，求f（x）的一般表达式．

Answer 1

y=f（x）在（x，f（x））上的切线方程为：
Y-f（x）=f'（x）（X-x）
令x=0，则得切线在y轴上的截距为：Y=f（x）-xf'（x）
∴

(1)/(x)∫

x 0

f(t)dt＝f(x)−xf′(x)
化简得：

∫

x 0

f(t)dt＝x[f(x)−xf′(x)]
上式两边对x求导得：
f（x）=[f（x）-xf'（x）]-x²f″（x）
即：xf''（x）+f'（x）=0
即：[xf'（x）]'=0
∴xf′（x）=C₁ （C₁为任意常数）
∴f′(x)＝(C1)/(x)
两边积分得：f（x）=C₁lnx+C₂．（C₁，C₂为任意常数）