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已知圆O的方程为x2+y2=1,设圆O与x轴交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一旦,直线PM交直线l:x=3于点P′,直线QM交直线l于点Q′,求证:以P′Q′为直径的圆C总过定点,并求出定点坐标.
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已知圆O的方程为x2+y2=1,设圆O与x轴交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一旦,直线PM交直线l:x=3于点P′,直线QM交直线l于点Q′,求证:以P′Q′为直径的圆C总过定点,并求出定点坐标.
▼优质解答
答案和解析
证明:对于圆O的方程x2+y2=1,令x=±1,即P(-1,0),Q(1,0).
又直线l方程为x=3,设M(s,t),
则直线PM方程为y=
(x+1).
令x=3,得P'(3,
),
同理可得:Q'(3,
).
所以圆C的圆心C的坐标为(3,
),半径长为|
|,
又点M(s,t)在圆上,又s2+t2=1.故圆心C为(3,
),半径长|
|.
所以圆C的方程为(x-3)2+(y-
)2=(
)2,
即(x-3)2+y2-
+
-
=0,
即(x-3)2+y2-
+
=0,
又s2+t2=1,
故圆C的方程为(x-3)2+y2-
-8=0,
令y=0,则(x-3)2=8,
所以圆C经过定点,y=0,则x=3±2
,
所以圆C经过定点且定点坐标为(3±2
,0).
又直线l方程为x=3,设M(s,t),
则直线PM方程为y=
t |
s+1 |
令x=3,得P'(3,
4t |
s+1 |
同理可得:Q'(3,
2t |
s-1 |
所以圆C的圆心C的坐标为(3,
3st-t |
s2-1 |
st-3t |
s2-1 |
又点M(s,t)在圆上,又s2+t2=1.故圆心C为(3,
1-3s |
t |
3-s |
t |
所以圆C的方程为(x-3)2+(y-
1-3s |
t |
3-s |
t |
即(x-3)2+y2-
2(1-3s)y |
t |
(1-3s)2 |
t2 |
(3-s)2 |
t2 |
即(x-3)2+y2-
2(1-3s)y |
t |
8(s2-1) |
t2 |
又s2+t2=1,
故圆C的方程为(x-3)2+y2-
2(1-3s)y |
t |
令y=0,则(x-3)2=8,
所以圆C经过定点,y=0,则x=3±2
2 |
所以圆C经过定点且定点坐标为(3±2
2 |
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