已知圆O的方程为x2+y2=1，设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一旦，直线PM交直线l：x=3于点P′，直线QM交直线l于点Q′，求证：以P′Q′为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标．

Question

已知圆O的方程为x²+y²=1，设圆O与x轴交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一旦，直线PM交直线l：x=3于点P′，直线QM交直线l于点Q′，求证：以P′Q′为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

证明：对于圆O的方程x²+y²=1，令x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直线l方程为x=3，设M（s，t），
则直线PM方程为y=(t)/(s+1)（x+1）．
令x=3，得P'（3，(4t)/(s+1)），
同理可得：Q'（3，(2t)/(s-1)）．
所以圆C的圆心C的坐标为（3，(3st-t)/(s2-1)），半径长为|(st-3t)/(s2-1)|，
又点M（s，t）在圆上，又s²+t²=1．故圆心C为（3，(1-3s)/(t)），半径长|(3-s)/(t)|．
所以圆C的方程为（x-3）²+（y-(1-3s)/(t)）²=（(3-s)/(t)）²，
即（x-3）²+y²-(2(1-3s)y)/(t)+((1-3s)2)/(t2)-((3-s)2)/(t2)=0，
即（x-3）²+y²-(2(1-3s)y)/(t)+(8(s2-1))/(t2)=0，
又s²+t²=1，
故圆C的方程为（x-3）²+y²-(2(1-3s)y)/(t)-8=0，
令y=0，则（x-3）²=8，
所以圆C经过定点，y=0，则x=3±2√(2)，
所以圆C经过定点且定点坐标为（3±2√(2)，0）．