已知a,b,c三点属于同一个区间内,fa的一阶导数大于0,fb的一阶导数小于0.求证fc的二阶导数小于0.要求用拉格朗日中值定理证明，且f(a)=f(b)，f（x）二阶可导

Question

已知a,b,c三点属于同一个区间内,fa的一阶导数大于0,fb的一阶导数小于0.求证fc的二阶导数小于0.
要求用拉格朗日中值定理证明，且f(a)=f(b)，f（x）二阶可导

Answer 1

证明：
f(x)二阶可导,f（x）在区间上连续,由拉格朗日中值定理f '(ζ)=(f(b)-f(a))/(b-a),f(b)=f(a)知,存在区间内的ζ满足f '(ζ)=0,当c属于（a,ζ),则由拉格朗日中值定理知f ''(c)=(f '(ζ)-f '(a))/(ζ-a),f '(ζ)=0,f '(a)>0,ζ-a>0,所以f ''(c)