设g（x）二阶可导，确定a，b，c，使函数f（x）=ax2+bx+c，x>0g(x)，x≤0，在x=0处二阶可导．

Question

设g（x）二阶可导，确定a，b，c，使函数f（x）=

ax2+bx+c，x>0

g(x)，x≤0

，在x=0处二阶可导．

Answer 1

首先在x<0和x>0上f（x）显然都二阶可导（g（x）二阶可导，二次函数也二阶可导），
只需要讨论x=0处可导表连续，即函数值左极限=右极限，
即

lim

x→0-

f（x）=

lim

x→0+

f（x），
∴

lim

x→0-

f（x）=

lim

x→0-

（ax²+bx+c），
∴g（0）=c，
∵二阶可导表示一阶也可导，即一阶导数函数值左极限=右极限，
∴

lim

x→0-

f′（x）=

lim

x→0+

f′（x），
∴

lim

x→0-

f′（x）=

lim

x→0-

（2ax+b），
∴g'（0）=b（g'（0）存在因为g（x）二阶可导），
∵二阶可导，即二阶导数函数值左极限=右极限
∴

lim

x→0-

f″（x）=

lim

x→0+

f″（x），
∴

lim

x→0-

f″（x）=

lim

x→0-

2a，
∴g″（0）=2a，
∴a=(1)/(2)g″（0），
∴需要f（x）二阶可导，必然有
a=(1)/(2)g″（0），b=g'（0），c=g（0）