已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆C的方程；（2）已知过点的直线与该椭圆相交于A、B两点，试问：在直线上是否存在点P，使得是正三角形？若存在，求出点P的坐标；若不

Question

已知椭圆 过点 ，且离心率 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点 的直线 与该椭圆相交于A、B两点，试问：在直线 上是否存在点P，使得 是正三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

已知椭圆 过点 ，且离心率 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点 的直线 与该椭圆相交于A、B两点，试问：在直线 上是否存在点P，使得 是正三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（1）椭圆 的方程为 .（2）存在符合题意的点 .

试题分析：（1）由题意得                       2分
解得
（2）讨论当直线 的斜率为0时，不存在符合题意的点 ； 
当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ,
代入 ，整理得 ,
设 ， ，应用韦达定理得到 ， ,
设存在符合题意的点 ，
从而弦长
,
设线段 的中点 ，则 ，
所以 ,
根据 是正三角形，得到 ，且 ,                   
由 得 ,
得到 ,
由 得关于 的方程，
解得 . .
（1）由题意得                       2分
解得                           4分
所以椭圆 的方程为 .                5分
（2）当直线 的斜率为0时，不存在符合题意的点 ；        6分
当直线 的斜率不为0时，设直线 的方程为 ,
代入

作业帮用户 2017-11-08

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