．设函数在区间上连续,在内可导,且试证：在内至少存在一点,使得f'(ξ)-2f(ξ)=0．

Question

．设函数 在区间 上连续,在 内可导,且 试证：在 内至少存在一点 ,使得 f '(ξ)-2f(ξ)=0．

Answer 1

设g(x)=e^(-2x)f(x),则函数在[a,b]连续,在(a,b)可导,
然后用你的题中“且”后面那个条件验证,一定能得到g(a)=g(b),因此满足罗尔定理条件（如果验证不成功,下次一定要把区间以及且后面的条件写出来）；
由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得g'(ξ)=0,
g'(x)=e^(-2x)f '(x)-2e^(-2x)f(x)
则g'(ξ)=e^(-2ξ)f '(ξ)-2e^(-2ξ)f(ξ)=0
即：f '(ξ)-2f(ξ)=0