数学题求解答已知函数f(x)=ax^2-4x+2函数g(x)=(1/3)^f(x)①若g(x)有最大值9，求a的值，并求出g(x)的值域②已知a≤1，若函数y=f(x)-log2(x/8）在区间[1,2]内有且仅有一个零点，试确定实数a范围

Question

数学题求解答
已知函数f(x)=ax^2-4x+2 函数g(x)=(1/3)^f(x)
①若g(x)有最大值9，求a的值，并求出g(x)的值域
②已知a≤1，若函数y=f(x)-log2(x/8）在区间[1,2]内有且仅有一个零点，试确定实数a范围

Answer 1

（1）由已知：g（x）=（1/3）^f（x）有最大值9，
又y＝(1/3)^t为减函数，
∴f（x）=ax^2-4x+2有最小值-2
∴a＞0
(4a×2−4^2)/4a＝−2
解得a=1
f（x）=x^2-4x+2=（x-2）^2-2≥-2
∴函数g（x）=（1/3）^f（x）的值域为（0，9]
（2）∵y=f（x）-log2 (x/8)=ax^2-4x+5-(log2 x)
设r（x）=ax^2-4x+5，s（x）=log2 x（x∈[1，2]）
则原命题等价于两个函数r（x）与s（x）的图象在区间[1，2]内有唯一交点，
当a=0时，r（x）=-4x+5在区间[1，2]内为减函数，
s（x）=log2 x（x∈[1，2]）为增函数，且r（1）=1＞s（1）=0，r（2）=-3＜s（2）=1，
∴函数r（x）与s（x）的图象在区间[1，2]内有唯一交点，
当a＜0时，r（x）图象开口向下，对称轴为x=2/a＜0，
∴r（x）在区间[1，2]为减函数，s（x）=log2x（x∈[1，2]）为增函数，
则由
r(1)≥s(1)
r(2)≤s(2)
⇒
a+1≥0
4a−3≤1
⇒-1≤a≤1，
∴-1≤a＜0
当0＜a≤1时，r（x）图象开口向上，对称轴为x=2/a≥2，
∴r（x）在区间[1，2]内为减函数，s（x）=log2x（x∈[1，2]）为增函数，
则由
r(1)≥s(1)
r(2)≤s(2)
⇒
a+1≥0
4a−3≤1
⇒-1≤a≤1，
∴0＜a≤1
综上得，所求a的取值范围为[-1，1]．