已知三角形ABC为正三角形,AB=2,p、Q依次为AB、AC上的点且线段PQ将三角形ABC分为面积相等的两部分,设AP=x,AQ=t,PQ=y,求：（1）t与x的函数关系式；（2）y与x的函数关系式；（3）y的最大值与最小值.

Question

已知三角形ABC为正三角形,AB=2,p、Q依次为AB、AC上的点且线段PQ将三角形ABC分为面积相等的两部分,设AP=x,AQ=t,PQ=y,求：
（1）t与x的函数关系式；
（2）y 与x的函数关系式；
（3）y的最大值与最小值.

Answer 1

(1)ABC的面积是1/2 *2*2*sin60=2sin60
过Q点作高垂直于AB,则APQ的面积为1/2 *x*t*sin60
又APQ面积为ABC的一半,所以1/2 *x*t*sin60=1/2 *2sin60
得t=2/x
(2)y可由余弦定理得x^2+t^2-y^2=2*x*t*cos60=2
即y^2=x^2+ 4/x^2 -2 (显然,x>=1,否则即使Q点取在C处也无法满足APQ面积为ABC一半)
(3)设y^2=f,x^2=k,得f=k+ 4/k -2 (1