设n是大于1的正整数.求证：存在一个集合A（真包含于）{1,2,…,n},使得(1)｜A｜≤2√n+1;(2){｜x-y｜｜x,y∈A,x≠y}={1,2,…,n-1}.

Question

设n是大于1的正整数.求证：存在一个集合A（真包含于）{1,2,…,n},使得
(1)｜A｜≤2【√n】+1;
(2) {｜x-y｜｜x,y∈A,x≠y}={1,2,…,n-1}.

Answer 1

这样证明
注意到｜A｜≤2[√n]+1,可设n=k^2+b 其中0≤b≤2k
当0≤b≤k时
构造集合A{1,2,3...k,2k,3k...k^2,k^2+b}满足条件（2）
易知｜A｜=2k,而2[√n]+1=2[√（k^2+b）]+1=2k+1,故有｜A｜≤2[√n]+1成立 满足条件1
当k≤b≤2k时
构造集合A{1,2,3...k,2k,3k...k^2,k^2+1,k^2+b}满足条件2
此时｜A｜=2k+1,
2[√n]+1=2[√（k^2+b）]+1
≥2[√（k^2+k）]+1
≥[√4k^2+4k]+1
=2k+1+1=2k+2
故｜A｜≤2k+2 所以满足条件1
证毕