含绝对值不等式解法例｜X-1｜+｜X-a｜〉4的解集为（-∞,2）∪（2,+∞）求a的值?

Question

含绝对值不等式解法 例｜X-1｜+｜X-a｜〉4的解集为（-∞,2）∪（2,+∞）求a的值?

Answer 1

方法有多种,如“去绝对值法”、“几何方法”等等,而去绝对值的方法里也有多种,区间分类讨论、平方等等.对于这道例题,最简便的方法就是几何法,解法如下：
不等式代表的几何意义是,数轴上与点1和a的距离之和大于4的点的集合,该集合已知为(-∞,2)∪(2,+∞),即x≠2.换言之,x=2是唯一不满足该不等式的一个点,也即把x=2代入该不等式的话就有|2-1|+|2-a|≤4,即|a-2|≤3,亦即-3≤a-2≤3,-1≤a≤5.另一方面,还要使除2以外的所有数对该不等式都成立,容易知道这个距离之和的最小值就是|a-1|,只要|a-1|>4即可,解得a>5或a