已知函数f（x）=log3mx2+8x+nx2+1的定义域为R，值域为[0，2]，求m．n的值．

Question

已知函数f（x）=log3(mx2+8x+n)/(x2+1)的定义域为R，值域为[0，2]，求m．n的值．

Answer 1

由于f（x）=log₃(mx2+8x+n)/(x2+1)的定义域为R，∵x²+1＞0，故mx²+8x+n＞0恒成立．
令y=(mx2+8x+n)/(x2+1)，由于函数f（x）的值域为[0，2]，则 1≤y≤9，且（y-m）•x²-8x+y-n=0 成立．
由于x∈R，①若y-m≠0，∴方程的判别式△=64-4（y-m）（y-n）≥0，即 y²-（m+n）y+mn-16≤0．
∴y=1和y=9是方程 y²-（m+n）y+mn-16=0的两个根，
∴m+n=10，mn-16=9，解得m=n=5．
②若y-m=0，即y=m=n=5 时，对应的x=0，符合条件．
综上可得，m=n=5．