（2014•滨州一模）设函数f（x）=lnx+x2-ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）-f（x2）≥-34+ln2；（Ⅲ）设g

Question

（2014•滨州一模）设函数f（x）=lnx+x²-ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁∈（0，1]，求证：f（x₁）-f（x₂）≥-(3)/(4)+ln2；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln(ax+2)/(6√(x))，对于任意a∈（2，4），总存在x∈[(3)/(2)，2]，使g（x）＞k（4-a²）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=(2x2−3x+1)/(x)，
令f′（x）＞0，可得0＜x＜(1)/(2)或x＞1，f′（x）＜0，可得(1)/(2)＜x＜1，
∴f（x）的递增区间为（0，(1)/(2)）和（1，+∞），递减区间为（(1)/(2)，1）；
（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴f′（x）=(2x2−ax+1)/(x)=0，即2x²-ax+1=0有两个不相等的实数根，
∴x₁+x₂=(a)/(2)，x₁x₂=(1)/(2)
∴2（x₁+x₂）=a，x₂=(1)/(2x1)，
∴f（x₁）-f（x₂）=lnx₁+x₁²-ax₁-（lnx₂+x₂²-ax₂）=2lnx₁-x₁²+(1)/(4x12)+ln2（0＜x≤1）．
设F（x）=2lnx-x²+(1)/(4x2)+ln2（0＜x≤1），则F′（x）=-((2x2−1)2)/(2x2)＜0，
∴F（x）在（0，1）上单调递减，
∴F（x）≥F（1）=-(3)/(4)+ln2，即f（x₁）-f（x₂）≥-(3)/(4)+ln2；
（Ⅲ）g（x）=f（x）+2ln(ax+2)/(6√(x))=2ln（ax+2）+x²-ax-2ln6，
∴g′（x）=(2ax(x+(4−a2)/(2a)))/(ax+2)，
∵a∈（2，4），∴x+(4−a2)/(2a)＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在x∈[

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