如图，在平面直角坐标系中，直线y＝12x+2与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y＝−12x2−32x+2．点C为线段AO上一动点，过点C作直线CD⊥x轴交AB于点D，交抛物线于点E．（1）当DE=2

Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝(1)/(2)x+2与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y＝−(1)/(2)x2−(3)/(2)x+2．点C为线段AO上一动点，过点C作直线CD⊥x轴交AB于点D，交抛物线于点E．
（1）当DE=2时，求四边形CAEB的面积；
（2）若直线CE移动到抛物线的对称轴位置，点P、Q分别为直线CE和x轴上的一动点，求△BPQ周长的最小值；
（3）连接BE，是否存在点C，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点C坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）设点C的横坐标为m，
由CD⊥x轴得：x_E=x_D=m．
则有y_E=-(1)/(2)m²-(3)/(2)m+2，y_D=(1)/(2)m+2．
则DE=y_E-y_D=（-(1)/(2)m²-(3)/(2)m+2）-（(1)/(2)m+2）=2．
解得：m₁=m₂=-2．
则y_E=-(1)/(2)×（-2）²-(3)/(2)×（-2）+2=3．
由(1)/(2)x+2=0得x=-4，则A（-4，0），OA=4．
则S_{四边形CAEB}=S_△ACE+S_△BCE
=(1)/(2)CE•AO=(1)/(2)×3×4=6．

（2）过点B作CE的对称点B′，作x轴的对称点B″，连接PB′、QB″、B′B″，如图2，
则点B′必在抛物线上，且y_B′=y_B，OB″=OB，PB′=PB，QB″=QB．
则△BPQ的周长=PB+PQ+QB=PB′+PQ+QB″．
根据“两点之间线段最短”可得：
当B′、P、Q、B″共线时，△BPQ的周长最小，最小值等于B′B″的长．
当x=0时，y=(1)/(2)×0+2=2，则点B（0，2）．
则有OB″=2．
解方程-(1)/(2)x²-(3)/(2)x+2=2得：x₁=0，x₂=-3．
则点B′的坐标为（-3，2）．
在Rt△BB′B″中，
∵∠B′BB″=90°，BB′=3，BB″=2+2=4，
∴B′B″=5．
∴△BPQ的周长的最小值为5．

（3）存在点C，使得△DBE和△DAC相似．
①若∠BED=∠ACD=90°，如图3，
由∠EDB=∠CDA得△DBE∽△DAC．
此时∠BEC=∠ECO=∠COB=90°．
则四边形COBE是矩形．
则CO=BE．
解方程-(1)/(2)x²-(3)/(2)x+2=2得：x₁=0，x₂=-3．
则点E的坐标为（-3，2）．
则CO=BE=3，点C（-3，0）．
②若∠EBD=∠ACD=90°，
如图4，这种情况不存在．
理由如下：
假设抛物线上点E满足∠EBD=90°，
解方程-(1)/(2)x²-(3)/(2)x+2=0得：x₁=1，x₂=-4．
则点F的坐标为（1，0）．
∵AB²=4²+2²=20，BF²=2²+1²=5，AF²=[1-（-4）]²=25，
∴AB²+BF²=AF²．
∴∠ABF=90°．
∴点E在点F处，此时点C与点F重合，
与条件“点C为线段AO上一动点”矛盾，故不存在．
综上所述：存在点C，使得△DBE和△DAC相似，此时点C的坐标为（-3，0）．