已知：抛物线Y=x²+bx-3与x轴相交于A,B两点,与Y轴相交于点C,并且OA=OC（1）\x05求这条抛物线的解析式（2）\x05过点C作CE//X轴,交抛物线于点E,设抛物线顶点为点D,试判断△CDE的形状,并说明理由

Question

已知：抛物线Y=x ²+bx-3与x轴相交于A,B两点,与Y轴相交于点C,并且OA=OC
（1）\x05求这条抛物线的解析式
（2）\x05过点C作CE//X轴,交抛物线于点E,设抛物线顶点为点D,试判断△CDE的形状,并说明理由
（3）\x05设点M在抛物线的对称轴L上,且△MCD的面积等于△CDE的面积,请写出点M的坐标

Answer 1

分析：
（1）首先抛物线y=x²+bx-3与y轴相交于点C,求得C点的坐标为（0,-3）．再根据OA=OC及图象求得A点的坐标值．再将A点的坐标值代入抛物线y=x2+bx-3,求得b的值,那么这条抛物线的解析式即可确定．
（2）要判断△CDE的形状,首先要得到线段ED、CD、EC的长．因而必须求得点E、D、C的坐标值．再根据CE∥x轴,即可知E点的纵坐标等于C点的纵坐标,根据抛物线的解析式求得E点的横坐标．求D点将抛物线写为顶点式,即可确定．
（3）由（2）知△CDE是等腰直角三角形,因而点M到直线CD的距离等于ED的成,则MD= 2ED,点D的坐标值为定值,因而点M的坐标值也就确定．
（1）当x=0时,得y=-3,
∴C（0,-3）,
∵OA=OC,
∴OA=3,即得A（-3,0）．
由点A在抛物线y=x²+bx-3上,
得9-3b-3=0．解得b=2．
∴所求抛物线的解析式是y=x²+2x-3．
（2）由CE∥x轴,C（0,-3）,可设点E（m,-3）．
由点E在抛物线y=x²+2x-3上,
得m²+2m-3=-3．
解得m1=-2,m2=0．
∴E（-2,-3）．
又∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4,
∴顶点D（-1,-4）．
∵ CD=√[(-1-0)²+(-4+3)²]=2,ED=√[(-1+2)²+(-4+3)²]=2,
CE=2,
∴CD=ED,且CD²+ED²=CE²．
∴△CDE是等腰直角三角形．
（3）M1（-1,-2）,M2（-1,-6）．