已知点A（0，2），抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，|FM||MN|=55（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点E（-4，0）的直线l与抛物线C交于两点P，Q

Question

已知点A（0，2），抛物线C：y²=2px（p>0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，(|FM|)/(|MN|)=(√(5))/(5)
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点E（-4，0）的直线l与抛物线C交于两点P，Q，点P关于x轴的对称点为P′，试判断直线P′Q是否恒过一定点，并证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）设点M到抛物线的准线的距离为|MM′|，抛物线的准线与x轴的交点记为点B，则由抛物线的定义知，|MM′|=|MF′|，
又因为(|FM|)/(|MN|)=(√(5))/(5)，所以cos∠NMM′=(√(5))/(5)，
而cos∠OFA=(|OF|)/(|AF|)=((p)/(2))/(√((p2)/(4)+4))，所以((p)/(2))/(√((p2)/(4)+4))=(√(5))/(5)，解之得p=2，
故抛物线C的方程为：y²=4x．
（Ⅱ）由题意知，直线l斜率必不为0，则设直线l的方程为x=my-4，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），P′（x₁，-y₁） （x₁≠x₂）．
由直线代入抛物线方程，消y整理得y²-4my+16=0，
则△=16m²-64>0，即|m|>2．y₁+y₂=4m，y₁y₂=16．
直线P′Q：y-y₂=(y2+y1)/(x2-x1)（x-x₂）=(4)/(y2-y1)（x-4）
所以，直线P′Q恒过定点（4，0）．