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(2003•温州)如图1,点A在⊙O外,射线AO交⊙O于F,C两点,点H在⊙O上,=2,D是上的一个动点(不运动至F,H),BD是⊙O的直径,连接AB,交⊙O于点C,CD交0F于点E.且AO=BD=2.(1)设AC=x,AB=y
题目详情
(2003•温州)如图1,点A在⊙O外,射线AO交⊙O于F,C两点,点H在⊙O上,=2,D是上的一个动点(不运动至F,H),BD是⊙O的直径,连接AB,交⊙O于点C,CD交0F于点E.且AO=BD=2.
(1)设AC=x,AB=y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当AD与⊙O相切时(如图2),求tanB的值;
(3)当DE=DO时(如图3),求EF的长.
(1)设AC=x,AB=y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当AD与⊙O相切时(如图2),求tanB的值;
(3)当DE=DO时(如图3),求EF的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)有了AO,BD的长,就能求出AF、AG的长,然后根据切割线定理即可得出x、y的函数关系式;
(2)AD与圆O相切,那么三角形ADB是直角三角形,因此∠B的正切值就应该是AD:BD,有BD的值,求AD就是解题的关键,有两种求法:①根据AD是切线可根据AD2=AF•AG,求出AD的长,②根据AO、OD的长用勾股定理求出AD的长;
(3)可通过构建相似三角形来求解,过点D作DM⊥EO于M,那么根据DO=DE,我们不难得出EM=OM,我们可通过三角形AEC和DEM相似,得出DE•CE=AE•EM,又根据相交弦定理可得出DE•CE=FE•EG,将相等的线段进行置换,可得出AE•EM=FE•EG,可用EF表示出EG,EO,也就表示出了EM、OM,由此可在这个比例关系式中得出EF的值.
【解析】
(1)∵BD=2
∴OF=OG=1
又∵AO=2
∴AF=AO-OF=2-1=1,AG=AO+OG=2+1=3
由切割线定理的推论得AC•AB=AF•AG,
∴xy=1×3
∴y=,自变量x的取值范围是1<x<;
(2)∵AD与⊙O相切,
∴∠ADB=90°
又∵AO=BD=2
∴OD=1
∴AD=
∴tanB=;
(3)过点D作DM⊥EO于M,
∵BD是直径
∴∠BCD=90°
∴∠ECA=∠EMD=90°
又∵∠AEC=∠DEM
∴Rt△AEC∽Rt△DEM
∴
∴AE•ME=DE•CE
由相交弦定理,得EF•EG=DE•CE
∴AE•ME=EF•EG
设EF=t,则AE=AO-OF+EF=2-1+t=1+t
EG=FG-EF=2-t
又∵DE=DO
∴ME=OM
∴ME=EO=(OF-EF)=
∴(1+t)•=t•(2-t)
化简,得t2-4t+1=0
∴t1=2-,t2=2+(不合题意,舍去)
即EF=2-.
(2)AD与圆O相切,那么三角形ADB是直角三角形,因此∠B的正切值就应该是AD:BD,有BD的值,求AD就是解题的关键,有两种求法:①根据AD是切线可根据AD2=AF•AG,求出AD的长,②根据AO、OD的长用勾股定理求出AD的长;
(3)可通过构建相似三角形来求解,过点D作DM⊥EO于M,那么根据DO=DE,我们不难得出EM=OM,我们可通过三角形AEC和DEM相似,得出DE•CE=AE•EM,又根据相交弦定理可得出DE•CE=FE•EG,将相等的线段进行置换,可得出AE•EM=FE•EG,可用EF表示出EG,EO,也就表示出了EM、OM,由此可在这个比例关系式中得出EF的值.
【解析】
(1)∵BD=2
∴OF=OG=1
又∵AO=2
∴AF=AO-OF=2-1=1,AG=AO+OG=2+1=3
由切割线定理的推论得AC•AB=AF•AG,
∴xy=1×3
∴y=,自变量x的取值范围是1<x<;
(2)∵AD与⊙O相切,
∴∠ADB=90°
又∵AO=BD=2
∴OD=1
∴AD=
∴tanB=;
(3)过点D作DM⊥EO于M,
∵BD是直径
∴∠BCD=90°
∴∠ECA=∠EMD=90°
又∵∠AEC=∠DEM
∴Rt△AEC∽Rt△DEM
∴
∴AE•ME=DE•CE
由相交弦定理,得EF•EG=DE•CE
∴AE•ME=EF•EG
设EF=t,则AE=AO-OF+EF=2-1+t=1+t
EG=FG-EF=2-t
又∵DE=DO
∴ME=OM
∴ME=EO=(OF-EF)=
∴(1+t)•=t•(2-t)
化简,得t2-4t+1=0
∴t1=2-,t2=2+(不合题意,舍去)
即EF=2-.
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