其实上题给出的递推公式有误应改为“数列{an}中,a1=1,an=(1/3)a1+a2+……+a(n-1)+1求数列{an}的通项公式”然后我猜通项公式(4/3)^(n-1)除此之外,与其类似的又该怎么做呢?

Question

其实上题给出的递推公式有误
应改为 “数列{an}中,a1=1,an=(1/3)【a1+a2+……+a(n-1)】+1
求 数列{an}的通项公式”
然后我猜通项公式 (4/3)^(n-1)
除此之外,与其类似的又该怎么做呢?

Answer 1

an=(1/3)*(a1+a2+...+a(n-1))+1.(1)
a(n+1)=(1/3)*(a1+a2+...a(n-1)+an)+1.(2)
(2)-(1)得
a(n+1)-an=(1/3)*an
故a(n+1)=4an/3
所以数列{an}是等比数列
那么an=a1*q^(n-1)=1*(4/3)^(n-1)=(4/3)^(n-1)
有这样的递推,一般可以再写个项是n+1的情况,再看看可不可以用差或商等把一些项抵消.