数学分析的问题我们学函数列一致收敛性时,经常取x=1-1/n这之类带n的形式来说明函数列不一致收敛.但在书上f(x)=x^n,|x|

Question

数学分析的问题
我们学函数列一致收敛性时,经常取x=1-1/n这之类带n的形式来说明函数列不一致收敛. 但在书上f(x)=x^n,|x|<1时,n趋近无穷时,f(x)极限等于0.这里为什么不取x=(1-1/n)^(1/n).这时n趋近无穷,f(x)不就趋近于1了吗?是规定吗?算极限时x是取定的数,而判断时x就可以带n吗?

Answer 1

那是因为两个定义不一样,一个就是固定x,令n趋于无穷取极限（注意是固定x）,也就是一个一个
的固定x来考虑极限.这时只是得到函数咧fn(x)的极限函数.
另外一个就不是这样了,必须通盘考虑问题,要求对所有的x（注意不是固定的x）,必须有一致
的N,这个N是与x无关的,是对所有的x都满足的一个正整数.因此考虑不一致收敛时
就可以找一些特殊的x（一般而言都是与n有关的）,这些特殊的x不能保证对你找到的N
满足一致的要求.
就比如你举的例子,固定x,令n趋于无穷,是考虑极限函数,为0函数；
但是考虑是否一致收敛时,要说明不是一致收敛,因此可以取xn=(1-1/n)^（1/n）,
此时fn(xn)=1-1/n>1/2,因此不是一致收敛.