已知函数f（x）=2x3-3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[-2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围．

Question

已知函数f（x）=2x³-3x．
（Ⅰ）求f（x）在区间[-2，1]上的最大值；
（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）令f′（x）=6x²-3=0解得，x=±(√(2))/(2)，
则f（x）在x=-(√(2))/(2)时取得极大值，
∵f（-(√(2))/(2)）=√(2)，f（1）=2-3=-1，
则f（x）在区间[-2，1]上的最大值为√(2)．
（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x，2x³-3x），
则(2x3−3x−t)/(x−1)=6x²-3，
化简得，4x³-6x²+3+t=0，
令g（x）=4x³-6x²+3+t，
则令g′（x）=12x（x-1）=0，
则x=0，x=1．
g（0）=3+t，g（1）=t+1，
又∵过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，
则（t+3）（t+1）＜0，
解得，-3＜t＜-1．