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关于导数的一道证明题已知函数f(x)在闭区间0到正无穷上连续,且f(0)=0,f'(x)在闭区间0到正无穷上存在且单调递增,令g(x)=f(x)/x(x>0).证明在开区间0到正无穷内,g(x)是单调递增的.
题目详情
关于导数的一道证明题
已知函数f(x)在闭区间0到正无穷上连续,且f(0)=0,f'(x)在闭区间0到正无穷上存在且单调递增,令g(x)=f(x)/x (x>0).证明在开区间0到正无穷内,g(x)是单调递增的.
已知函数f(x)在闭区间0到正无穷上连续,且f(0)=0,f'(x)在闭区间0到正无穷上存在且单调递增,令g(x)=f(x)/x (x>0).证明在开区间0到正无穷内,g(x)是单调递增的.
▼优质解答
答案和解析
g'(x)=f'(x)*x-f(x) /x^2
x^2>0,要证g(x)是单调递增,即证f'(x)*x-f(x)>0
因为f'(x)在闭区间0到正无穷上存在且单调递增,所以f'(x)>f'(0)
f'(x)*x-f(x)>f'(0)*0-f(0)=-f(0)=0
所以g(x)单调递增
x^2>0,要证g(x)是单调递增,即证f'(x)*x-f(x)>0
因为f'(x)在闭区间0到正无穷上存在且单调递增,所以f'(x)>f'(0)
f'(x)*x-f(x)>f'(0)*0-f(0)=-f(0)=0
所以g(x)单调递增
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